Nov 032005
 

Do I contradict myself?
Very well then I contradict myself,
(I am large, I contain multitudes.)

"Song of Myself" Walt Whitman (1881)

In logica e matematica le uniche teorie che valga davvero la pena di considerare sono quelle che sfiorano la contraddizione. Il teorema di incompletezza di Gödel ci rivela che nessuna tra le teorie al cui interno sia formulabile l’aritmetica ordinaria è sia consistente che completa. In altre parole, se una teoria è non contraddittoria, e lo deve essere pena l’insensatezza, deve contenere infinite domande prive di una risposta.

Certo, esistono teorie che dimostrano in sé stesse di essere consistenti e complete, una tra esse è per esempio l’aritmetica senza moltiplicazione, ma si tratta di teorie il cui principale motivo di interesse è la limitatezza, l’inespandibilità, l’impossibilità di svilupparsi oltre che consegue dalla loro completezza stessa. Sono teorie ben fondate, indistruttibili e immortali, nelle quali tuttavia è impossibile calcolare quanto faccia due per due. Peggio, hanno un linguaggio tanto limitato che è persino impossibile porsi il problema. Sono teorie senz’anima e senza progresso, eternamente rivolte a un presente senza passato e privo di futuro.

Di piú, il succitato teorema ci rivela che in un senso ben preciso la risposta a tutte quelle domande prive di risposta sarebbe “sí”, ma che nella teoria questo non lo si potrà mai dimostrare e che dunque saremo comunque in grado assumere “no” come risposta senza per questo cadere in contraddizione.

Orbene, all’interno dell’aritmetica ordinaria Gödel riesce, esplicitamente e in linguaggio esclusivamente aritmetico, a costruire una formula logicamente equivalente alla frase seguente (“dimostrare” ha il senso di “dimostrare vero”, il verbo con significato opposto è “refutare”): “Questa frase è indimostrabile”. Se infatti essa fosse falsa, allora potremmo dimostrare che è vera, cadendo in contraddizione, dunque la frase è necessariamente vera, ma proprio per questo non siamo in grado di dimostrarlo servendoci dei soli strumenti della teoria. Potremo aggiungere questa formula ai nostri assiomi ottenendo un’altra teoria che costituirà una cosiddetta estensione standard di quella iniziale. Ma ancora, e questa è la cosa davvero meravigliosa, proprio perché ogni dimostrazione o refutazione della formula aggiuntiva è impossibile, potremo anche costruire una teoria altrettanto consistente di quella originaria assumendo per ipotesi che essa sia invece falsa, ottenendo cosí un’estensione non standard.

Le due teorie cosí costruite saranno incompatibili l’una con l’altra, ma entrambe altrettanto consistenti della teoria iniziale. Se quella non era contraddittoria non lo saranno neppure queste, si hanno cosí teorie “standard” in cui per esempio si accetta l’ipotesi di Cantor (“il successore di ℵ0 è ℵ1=20“) e teorie “non standard” in cui la si rifiuta, e cosí via.

(… continua …)

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