Ago 302008
 

Il primo teorema di incompletezza di Gödel afferma che nell’aritmetica ordinaria[1] (formalizzata dagli assiomi di Peano) e quindi in ogni teoria che include l’aritmetica ordinaria, è possibile formulare esplicitamente una proposizione vera che non è dimostrabile né, ovviamente, refutabile all’interno della teoria.

Esempi di proposizioni indecidibili nel contesto della teoria non ingenua degli insiemi sono il cosiddetto assioma di scelta e l’ipotesi del continuo. Il classico problema indecidible dell’informatica teorica è quello dell’arresto.

Una volta trovata una proposizione indecidibile è dunque possibile assumerla tra gli assiomi e costruire quella che si chiama l’estensione standard della teoria, il teorema garantisce che non si aggiungeranno altre contraddizioni oltre a quelle eventualmente presenti nella teoria originale, in caso contrario la proposizione sarebbe refutabile.

Ma, e questo è a prima vista sorprendente, è anche possibile assumere tra gli assiomi la negazione di tale proposizione, costruendo l’estensione non-standard; anche in questo caso non si otterrà alcuna nuova contraddizione, in caso contrario la proposizione sarebbe dimostrabile.

Il fatto è che la nozione di verità logica è relativa agli assiomi della particolare teoria in esame[2] e una proposizione logicamente vera in una certa teoria può benissimo essere logicamente falsa in una teoria differente. Per esempio l’assioma delle parallele è vero nella teoria geometrica euclidea e falso nella teoria geometrica iperbolica.

Quando i matematici (o i logici) affermano di occuparsi di verità universali sono in errore: l’unica verità universale è quella che si ricava empiricamente dalle osservazioni sulla realtà esterna, unico discrimine tra ciò che è e ciò che non è. I modelli astratti, logici e matematici, possono approssimare piú o meno bene la realtà, ma non sono la realtà, tant’è vero che in generale sono mutuamente contraddittori. Con buona pace di Cartesio.


[1] Teorie piú deboli, come l’aritmetica senza moltiplicazione induttiva di Presburger, sono complete: ciascuna proposizione di tali teorie è dimostrabilmente vera o refutabilmente falsa, senza eccezioni.

[2] Per esempio, tutte le proposizioni di una teoria che non includa tra gli assiomi il principio di non contraddizione sono contemporanemente vere e false.

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