Mar 022007
 

Nel suo libro “L’infinito”, John D. Barrow afferma ad un certo punto che:

In un universo di estensione infinita, tutto ciò che ha una probabilità non nulla di accadere deve accadere infinite
volte.

Presa in senso letterale, che non è quello in cui la intende l’autore, questa affermazione è vera, ma nondimeno
irrilevante. Essa non è originale, la si ritrova in Borges, che l’ha
derivata da Nietzsche, che l’ha incontrata nelle opere di Heine. A costoro, tuttavia, l’errore si può perdonare perché non erano matematici, né esperti di probabilità, e anche perché gli infiniti generano spesso situazioni del tutto controintuitive in cui il normale buon senso non solo non funziona, ma conduce ad abbagli addirittura catastrofici.

L’errore è gravissimo, invece, quando commesso da qualcuno che
di libri sull’infinito ne ha scritti piú d’uno e, per di piú, fa
di mestiere l’astrofisico. I libri di Barrow non sono male, in fondo,
ma contengono a mio parere diverse assunzioni ingiustificate e numerosi
errori, per quanto sottili e meno gravi di questo. Purtroppo si tratta di un atteggiamento piuttosto comune tra cosmologi e astrofisici.

Il problema è che la cardinalità degli stati fisici, cioè il complesso degli accadimenti possibili, è anch’essa infinita[1], dimodoché la probabilità che uno particolare di essi si verifichi è sempre nulla. L’affermazione di cui sopra, dunque, si riferisce ad accadimenti che non possono aver luogo: ciascun possibile accadimento ha sempre, rispetto all’insieme degli accadimenti possibili, probabilità nulla di accadere.

La situazione è simile a quella in cui si debba scegliere infinite volte
un numero reale compreso tra zero (incluso) e uno (escluso), con probabilità
uniforme. La probabilità di scegliere un particolare numero reale è sempre
nulla, mentre è la densità di probabilità a essere costante.

Anche nel caso in cui si debbano operare infinite scelte non vi è
motivo alcuno per cui un particolare numero tra zero e uno debba sempre
venir scelto infinite volte, tanto meno tutti quanti come vorrebbe Barrow!

La cosa vale anche se il numero di scelte è piú che numerabile, se ha potenza non superiore a quella del continuo: l’estrazione casuale equivarrà allora alla costruzione, casuale e con probabilità uniforme, di una funzione che abbia dominio in un insieme che ha la potenza del continuo, per esempio l’intervallo [0,1), e il cui codominio sia l’intervallo [0,1) stesso.

Non vi è nessunissima ragione perché tale funzione debba necessariamente essere suriettiva e sarebbe un ben strano caso, niente affatto probabile, quello in cui tale funzione ricoprisse infinite volte il proprio codominio.

L’affermazione di Barrow varrebbe solo, oserei dire, se il numero di scelte avesse cardinalità superiore a quella del continuo, ma il nostro universo non sembra essere fatto in tal modo. Sospetto, tra l’altro (dovrei pensarci, non sono un matematico), che occorrerebbe far uso dell’assioma di scelta, che ha uno status vagamente simile a quello dell’assioma di Euclide sulle parallele.


[1] Gli oggetti fisici potranno anche essere in numero finito, come sostiene un po’ arbitrariamente Barrow anche quando pensa a un universo infinito, ma gli stati in cui essi possono potenzialmente trovarsi sono nondimeno infiniti

 Posted by at 21:34  Tagged with:

  10 Responses to “Infiniti – 1”

  1. la frase aveva però un efficacia drammatica notevole. si, sembra come dici, su infiniti eventi ogni evento è irrilevante (la probabilità). il lettore è affascinato all’idea che ogni cosa deve esistere per forza, all’infinito (nel tutto ci deve essere ogni cosa, ma quando?). chiaramente non seguo la storia dei domini e codomini, ma mi piace la parola cardinalità. mi sembra però di capire che se il tempo non ci fosse, se infinite cose esistessero eternamente, senza cambiare, ciascuna esisterebbe infinite volte. o no?

  2. Se ogni cosa esistesse immutabile sarebbe una cosa sola e il tempo non esisterebbe.

    Si noti che la ripetizione non è esclusa a priori, è pur sempre possibile, ma non è necessaria (anzi, è improbabile).

    C’è però un addizionale problema filosofico di fondo: supposto che da qualche altra parte nello spazio tempo infinito esista un essere assolutamente identico a me, che da me non possa essere distinto in alcun modo, il principio di identità degli indiscernibili stabilisce che quell’essere sono proprio io, dato che in nessun modo è possibile distinguerci; dunque lo spazio tempo è periodico (o ripiegato su sé stesso, che è la stessa cosa) e pertanto non è infinito, contro l’ipotesi.

    Se invece esistesse un essere che in qualche momento particolare della sua storia fosse per caso quasi uguale a me in qualche particolare momento della mia, l’instabilità esponenziale dei sistemi dinamici garantisce che il resto della sua storia si evolverebbe comunque in modo molto diverso, a causa dell’effetto farfalla che amplifica le piccole differenze.

    C’è un modo relativamente preciso di illustrare dove sbaglia Barrow e chi con lui, ne tratterò in un post successivo, ma non sarà semplice da capire per chi non abbia familiarità con il substrato matematico della meccanica quantistica.

  3. però… aspetta… torno un momento indietro: il discorso che fai della probabilità nulla vale nel continuo, mentre nel discreto ‘sta probabilità dovrebbe avere un valore, per quanto piccolo. se invece di reali fossero numeri naturali. ora, l’universo non è continuo ma discreto, o almeno così ricordo dalle mie letture divulgative della domenica.

  4. Ricordi malissimo. Sono i tremendi danni causati dai fisici delle alte energie (i particellari) che si dimenticano spesso e volentieri di tutti gli aspetti della fisica che non li riguardano direttamente.

  5. Preciso meglio: l’errore è piú o meno equivalente a quello di chi, notando che la superficie terrestre si trova in uno spazio a tre dimensioni, ne concludesse che essa contenga soltanto tre luoghi separati.

    Proseguendo in questa imperfetta, ma illustrativa, analogia e tirandola parecchio per i capelli, si potrebbe equiparare la quantizzazione a un limite che imponga a chi si muove su tale superficie di muoversi con passi che siano multipli interi di una lunghezza minima e lungo un insieme limitato di direzioni. Questo non impedisce che, variando opportunamente direzione e numero dei passi, anche con questa limitazione si possa giungere comunque arbitrariamente vicini a qualunque punto della superficie.

  6. sicchè la storia dei quanti è solo un modo di vedere e non corrisponde ad una caratteristica della realtà?

  7. Corrisponde alla realtà, ma non nel modo ingenuo che ci si potrebbe rappresentare.

    La quantizzazione limita i valori che possono essere assunti dalle osservabili fisiche, ma non li limita necessariamente a quantità discrete. Dipende dalle caratteristiche di ciò che si osserva.

    Per esempio, è noto che i possibili livelli energetici di un atomo d’idrogeno (corrispondente alle orbite ellittiche classiche di un sistema elettrone-protone) sono discreti, anche se un tale atomo, come il gatto di Schroedinger, può benissimo non trovarsi in alcuno di essi, ma in una qualsivoglia sovrapposizione; tuttavia i livelli energetici di un sistema elettrone-protone non legato (orbite paraboliche e iperboliche) non lo sono affatto.

  8. credo che si includa e si esamini la questione da un -principio-. Cioè da una idea di tempo. Ora se l’immagine è proiezione interna ed infatti è così, questa è, perchè è parte di una evoluzione. Tale evoluzione parte da -nulla- e le proiezioni sono combinazioni infinite che si incontrano. Il tempo esiste nella dimensione dove esiste, (persino come proiezione -immagine di questo) in altro piano o parallelo, (mitologia fantastica -La porta-) esso non è. E’ nel non è, che si coglie la posizione positivo-negativo, calcolo binario, 000 111, e le sessantaquattro combinazioni, che sono parte del linguaggio neuronico, come quello ad esempio di un calcolatore. Nuovi studi interessanti sul genoma umano a breve (se verranno dichiarati) riscontreranno una “memoria” costante della evoluzione umana. Memoria va inteso come calcolo delle probabilità, capacità di incontro, ecc, ecc, da qui, la proiezione costante e la sincronicità, la chiromanzia, e le funzioni astrologiche. Il calcolo delle possibilità è strettamente regolato dalla sua funzione. Il “calcolo” del tempo, e strettamente legato alla sua funzione, così nella ipotesi di incontro delle variabili e delle funzioni, passa un altro stadio di evoluzione, (questa credo che sia teoria però)

  9. Ohe’, ho commentato un capitolo di John Barrow, mica “Il Pendolo di Foucault” di Umberto Eco.

    fB

  10. In fisica con la logica non si va da nessuna parte.

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