Nov 182012
 

Espansione di Taylor nell’intorno di $x=B$ (con raggio di convergenza $B$), formula del binomio di Newton, riarrangiamento del prodotto di due coefficienti binomiali, azzardato scambio (in generale scorretto) tra le due sommatorie con indici $n, k$ con contestuale sostituzione $n rightarrow n-k$:

$$x^a = B^a sum_{n = 0}^{infty} {achoose n} left(frac{x}{B}-1right)^n = \
= B^a sum_{n = 0}^{infty}sum_{k = 0}^{n} {achoose n} {n choose k}left(-1right)^{n-k}left(frac{x}{B}right)^k = \
= B^a sum_{n = 0}^{infty}sum_{k = 0}^{n} {achoose k} {a-k choose n-k}left(-1right)^{n-k}left(frac{x}{B}right)^k approx \
approx B^a sum_{k = 0}^{infty}left(sum_{n = 0}^{infty} left(-1right)^{n} {a-k choose n}right){achoose k} left(frac{x}{B}right)^k$$

Che sarebbe una figata, l’espressione di potenze qualsiasi come serie di potenze intere, se solo il termine $sum_{n = 0}^{infty} left(-1right)^{n} {a-k choose n}$ non convergesse, quando converge, a $0^{a-k}$, cioè a $delta_{a,k}$, mostrando a posteriori che lo scambio tra le due sommatorie è possibile e ha senso solo quando $a in mathbb{N}$ e la prima serie si riduce a un singolo termine, conducendo in questo caso alla formula non particolarmente utile $x^a = x^a$.

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